Les objectifs modernes

I) Recherche de fondations solides

La mathématique peut être considérée comme une activité de découverte et d’invention. Celle-ci met au jour des objets et des concepts qui peuvent paraître au premier abord inhabituels. Le mathématicien doit donc posséder d’un véritable sixième sens pour percevoir ces objets abstraits. De nombreuses réactions de surprises ont accueilli les nouveaux outils mathématiques.

Depuis le temps des Grecs, l’homme cherche donc des fondations solides pour les mathématiques afin de limiter toute surprise et tout malaise. Nous pouvons observer alors de nombreuses phases successives de construction et de déconstruction qui montrent que ces fondations pouvaient menacer de s’effondrer ou qu’elles  étaient dépassées par d’autres plus conformes. Par exemple, au VIème siècle, les Pythagoriciens firent de l’arithmétique des nombres entiers et rationnels le fondement de la mathématique. Tout s’écroula par la découverte de grandeurs géométriques qui ne pouvaient s’exprimer comme rapport de nombres entiers.

Au XVIIème siècle, Descartes fit de l’analyse, c'est-à-dire les nombres réels, le centre de la mathématique. La géométrie devint alors analytique et points et entités furent réduits à des cordonnées et équations. Au XIXème siècle, l’analyse fut à son tour réduite à l’arithmétique. Les nombres réels furent définis comme ensembles de leurs approximations rationnelles.

Le processus de construction et de déconstruction ne s’arrêta pas là. Au contraire, le XX° siècle peut être qualifié de période de refondation. Ces nouvelles fondations ne sont plus basées sur les objets classiques de la mathématique (objets numériques ou géométriques), mais sur des concepts totalement nouveaux.
           

1) Les années 1920 : les ensembles

A) De nouvelles fondations

Entre 1874 et 1884, Georg Cantor inventait la théorie des ensembles. On lui doit la découverte de plusieurs types d’infinis. Il montra qu’un ensemble infini et l’ensemble de ses parties n’ont pas le même type d’infini et qu’il existe une hiérarchie infinie des tailles des ensembles infinis. Il parvint ainsi à prouver que l’infini des nombres entiers naturels, qualifié de dénombrable est distinct de l’infini des nombres réels, qualifié de continu, en utilisant l’argument de la diagonale. (exemples d'ensembles représentés par des fractales  )
(Hôtel de Hilbert)

Gottlob Frege développa une approche équivalente à celle de Cantor, qui aujourd’hui porte le nom de théorie ingénue (ou naïve) des ensembles. Cette théorie est basée sur le principe d’extensionalité et sur le principe de compréhension. Le premier dit que comme un ensemble est totalement déterminé par ses éléments, alors deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux et le deuxième montre que chaque propriété défini un ensemble, et que chaque ensemble est déterminé par une propriété. La découverte que l’on pouvait fonder les mathématiques sur deux principes aussi simples fut considéré comme un achèvement de son histoire : le travail de Cantor et de Frege montrait que l’arithmétique était à son tour réductible à la théorie des ensembles, c'est-à-dire la logique pure.

B) Effondrement des fondations.

Cependant, le monument s’effondra quand Bertrand Russell montra que cette fondation simple était incohérente, en entraînant par la même occasion ce que l’on a appelé la crise des fondements. Celui-ci montra que le « principe de compréhension » était contradictoire. Ce raisonnement est connu aujourd’hui sous le nom de paradoxe de Russell. Russell simplifia cette théorie sous la forme du paradoxe du barbier :

Sur l’enseigne du barbier du village, on peut lire « Je rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. »
 Le barbier n’a pu respecter cette règle car :
-  S’il se rase lui-même, alors il ne respecte pas son enseigne: Il raserait
quelqu' un qui se rase lui-même.
- S’il ne se rase pas lui-même, alors son enseignement est faux : de ce fait,
 il ne raserait pas tous les hommes du village qui ne se rasent pas.
 Il y a deux ensembles: celui des hommes qui se rasent eux-mêmes et celui de ceux qui sont rasés par le barbier.
Et le barbier ne peut pas appartenir à l’un d’entre eux.
Une solution semble être celle qui nie l’existence de ce barbier.
(Paradoxe exposé par Bertrand Russel en 1918)
Russel contourna donc la difficulté en développant la théorie des « types » qui interdit l’existence d’ensembles qui appartiennent à eux-mêmes.

(paradoxe du barbier)

Parallèlement, dans le but d’éviter ces paradoxes, Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem développèrent théorie axiomatique des ensembles, connue aujourd’hui sous le nom de théorie de ZF.

C) Conséquences

L’analyse logique de la mathématique souffre des mêmes limites que la critique littéraire, c'est-à-dire qu’elle intéresse plus les spécialistes que les auteurs ou les lecteurs : dans notre cas, les logiciens plutôt que les mathématiciens. Cette crise a laissé quelque peu indifférents les mathématiciens : en effet, la réduction des objets mathématiques aux ensembles n’a pas eu de conséquences dans la pratique. Ensuite, si les paradoxes ont préoccupé les logiciens, ils ont laissé largement indifférents les mathématiciens, qui voient en général l’incohérence comme un problème ne se rapportant pas à la mathématique elle-même, mais à ses présentations formelles : dans notre cas, à la théorie des ensembles et non à sa pratique. La théorie de Zermelo-Fraenkel a donc été aperçue comme la solution d’un problème insignifiant.

Tout ceci a donc bouleversé les mathématiques, mais contrairement à ce que l’on pourrait croire, la plupart des mathématiciens ne se sont pas rendu compte de l’existence d’une crise.

2) Les années 1930 : séisme du théorème de Gödel

A) Hilbert et la méthode axiomatique

Le projet initial de Hilbert était de rendre parfaitement claires les méthodes de raisonnements mathématiques. En 1900, lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XX° siècle. En 1920, il propose donc explicitement un programme de recherche en métamathématiques (logique mathématique) que l’on appellera le programme de Hilbert. Il souhaitait alors que les mathématiques soient solidement et complètement formulées en s'appuyant sur la logique. Ce programme fait maintenant partie du formalisme.

B) L’impact de Gödel

Dans son article de 1931, Kurt Gödel révolutionne les mathématiques en montrant que tout système formel non-contradictoire et suffisamment complet pour inclure au moins l'arithmétique, ne peut démontrer sa complétude en s'appuyant sur ses axiomes*. Il remet donc en cause plus d'un siècle de recherches et la tentative de David Hilbert de formaliser entièrement les mathématiques. Cependant, le théorème d'incomplétude de Gödel ne dit pas qu'il est impossible de réaliser un tel système axiomatique.

*Définition d'axiome:
- vérité non démontrable qui s'impose avec évidence.
- proposition première, vérité admise sans démonstration et sur laquelle se fonde une science, un raisonnement.

(Gödel)

Le programme de Hilbert a lancé la logique sur une voie de clarification. Le désir de mieux comprendre le théorème de Gödel a permis le développement de la théorie de la récursion et la clarification de la logique. Cette dernière est devenue une discipline à part entière dans les décennies de 1930 et de 1940. Elle forme le point de départ de ce qui est aujourd'hui appelée l'informatique théorique, développée par Alonzo Church et Alan Turing.

(résumé)

II)Les mathématiques appliquées

Au XXe siècle, les objectifs mathématiques évoluent : certains mathématiciens se tournent du côté de la physique ou de l'industrie afin d'utiliser leurs connaissances comme d'un outil et de créer des objets mathématiques et des théorèmes concrets et directement utilisables, alors que d'autres mathématiciens continuent à se consacrer à des mathématiques basées sur l'abstrait, et à une recherche se suffisant à elle-même, sans chercher à être utile à d'autres. La première catégorie, dite des "mathématiques appliquées" ne se sépare vraiment de la deuxième, celle des "mathématiques pures", qu'au début du XXe siècle. Nous allons chercher les différences entre ces deux "branches" des mathématiques actuelles, différences peu apparentes parfois et contestées par les mathématiciens "appliqués". Cette contestation de la division "mathématiques pures/mathématiques appliquées" est bien illustrée par cette boutade de Ian Stewart, un mathématicien "pur" : "La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une !"

1) Les applications des mathématiques avant le XXème siècle

L'utilisation des mathématiques par d'autres sciences à toujours existé : Les civilisations antiques comme la civilisation grecque utilisent déjà les travaux des mathématiciens pour des applications pratiques ; la géométrie est utilisée par les agriculteurs pour calculer la taille des champs, l'arithmétique est omniprésente (pour les registres financiers par exemple), le théorème de Thalès permet de calculer la hauteur d'un monument simplement à partir de son ombre, et cætera. Les applications des mathématiques sont donc dès le début très nombreuses, mais les mathématiciens font alors très rarement leur théorème en fonction des applications possibles. On assiste par contre à la "connexion" inverse vers le XVIIIe siècle où des physiciens comme Sir Isaac Newton ou Joseph Fourier se tournent vers les mathématiques pour mettre au point des équations plus précises visant à interpréter des phénomènes physiques comme la gravitation terrestre ou la diffusion de la chaleur.

2) Au  XXème siècle, la fusion des sciences

La relation entre physique et mathématiques reste au fil des siècles plus que profonde, mais les relations entre mathématiques et biologie, entre mathématiques et économie, ou entre mathématiques et sciences sociales restent rares, voire inexistantes. C'est seulement au XXe siècle que certains mathématiciens se tournent vers ces sciences jusqu'ici plutôt ignorées, par l'intermédiaire de nouvelles branches hybrides mêlant plusieurs sciences différentes. C'est ainsi que des sciences comme la biomathématique, mélange de mathématiques et de biologie, apparaissent, permettant de développer des conjectures et de démontrer des théorèmes sur des phénomènes biologiques, en faisant par exemple une modélisation et simulation d'un cancer, pour comprendre comment le bloquer.  Autre exemple, l'analyse numérique permet de simuler un accident de voiture à partir de données telles que la masse, la vitesse, et la conception du véhicule, mêlant ainsi les mathématiques avec la physique d'une manière proche de la fusion.

Enfin, la conception de l'arme nucléaire reste le cas le plus célèbre de sciences appliquées : en trois ans, les célèbres scientifiques du "Manhattan project" réussissent à créer une arme "capable de libérer une énergie si colossale qu'elle pourrait détruire une ville entière". Parmi l'équipe de chercheurs qui créent cette arme, plus de la moitié sont physiciens, mais on trouve également des mathématiciens, des ingénieurs, des biologistes etc. Les chercheurs utilisent toutes les dernières avancées en matière de physique et de chimie nucléaire pour parvenir non pas à interpréter mais à créer un phénomène inédit et ultra-puissant. Les chercheurs qui travaillèrent sur ce projet ont pour beaucoup reçu un prix Nobel pour leurs travaux et plusieurs autres hautes récompenses comme la médaille Hugues ou autres. Parmi ces chercheurs on trouve des noms tels que Albert Einstein ou Niels Bohr.

Récemment, un prix a été créé pour récompenser les meilleures avancées en mathématiques appliquées ; le premier lauréat de ce prix est Kiyoshi Itō, un japonais inventeur du "lemme d'Itō",qui trouve son application en calcul stochastique, ou étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. Le prix Carl-Friedrich-Gauss pour les mathématiques appliquées se tiendra tout les quatre ans, à l'occasion du congrès international de mathématiques.

Les mathématiques appliquées se forgent donc petit à petit une place à part dans le monde des mathématiques et marquent une évolution majeure dans le monde des sciences : le rapprochement entre les différentes sciences, qui permet d'obtenir des avancées fulgurantes dans des domaines extrêmement variés. Cette composante des mathématiques ne semble néanmoins pas changer en profondeur la façon de faire des mathématiques ; en effet les théorèmes à démontrer changent (même si beaucoup de théorèmes démontrés en mathématiques pures ont par la suite été utilisés dans des applications par les autres sciences)  mais la façon de les démontrer reste, du moins dans la grande majorité des cas, similaire.

(Rupture entre mathématiques pures et appliquées)

III) Nicolas Bourbaki : une autre vision des mathématiques

C'est au début des années 1930 qu'un groupe de jeunes mathématiciens français, devant l'insuffisance des ouvrages alors proposés, décide d'entreprendre un travail colossal : clarifier les mathématiques, remettre à plat ce qui peut l'être et réécrire ce qui est utile. En 1935 apparaît donc un mathématicien soi-disant originaire de Poldavie, (pays imaginaire) nommé Nicolas Bourbaki. Derrière ce nom, emprunté à Charles Bourbaki, général du second empire, se cachent des chercheurs tels qu'André Weil ou Jean Dieudonné, mathématiciens majeurs du XXe siècle.

Le groupe Bourbaki se constitue dans un contexte où, faute de mathématiciens les précédant directement (tous partis à la guerre), il doit se référer à des chercheurs du XIXe siècle comme Auguste Picard ou Edouard Goursat. Ce groupe se forme en réaction à trois évènements en particulier :
- Les mathématiques sont en train de s'émietter en spécialités étanches
- L'analyse est de plus en plus étudiée mais avec un manque de rigueur gênant
- Les mathématiques ne communiquent que très peu d'un pays à l'autre (explicable par le contexte politique de l'époque)

Les jeunes chercheurs du groupe Bourbaki décident donc de réécrire un traité d'analyse les satisfaisant pour remplacer celui de Goursat qu'ils n'apprécient guère. On trouve alors comme membres du groupe Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt, et  André Weil. Rapidement, les mathématiciens échangent leur projet initial pour un autre, encore plus démesuré : écrire un traité sur la mathématique dans son ensemble.

Chaque été, le groupe se réunit donc pour mettre au point ce traité, comptant à ce jour plus de 40 volumes, les Eléments de Mathématique. Cet œuvre très importante des mathématiques modernes n'est pas finie car elle est en constante évolution, mais ce qui en a été publié a entraîné une profonde réorganisation et clarification des mathématiques. Une limite d'âge de  50 ans fixée aux membres du groupe permet à Nicolas Bourbaki de conserver une éternelle jeunesse, mais après le départ des deux membres les plus importants, le groupe renommé entre temps "association des amis de Nicolas Bourbaki" est en perte de vitesse. La fréquence de parution des traités se fait de plus en plus rare et les traités initiaux, qui sont à présent devenus trop difficiles pour être utilisés par les étudiants, sont de moins en moins utiles aux mathématiciens modernes.
Bourbaki a tout de même eu un impact très important sur les mathématiques, en apportant plusieurs choses :
- Une façon d'écrire les mathématiques (pas toujours facile à lire)
- La vulgarisation en France des symboles et
- Le terme "Partition"
- La notion de "filtre" et "d'ultrafiltre"
        Cette clarification des mathématiques est à l'origine d'un mouvement de chercheurs, le bourbakisme, très critiqué parmi les mathématiciens, et visant à tout structurer au maximum.

On peut donc dire que le groupe Bourbaki a véritablement changé les mathématiques; mais la façon de faire des mathématique reste a priori la même malgré quelques avancées. La vision de Bourbaki sur les mathématiques se base sur les mêmes fondations que les autres mouvements mathématiques : on peut donc dire que Nicolas Bourbaki a changé partiellement, mais pas entièrement, la façon de faire des mathématiques.