L’informatique : un outil révolutionnaire du XXeme siècle ?

Le premier ordinateur, l'ENIAC, est créé en 1946. Il est énorme et effectue environ 330 multiplications par seconde. En 1954, le premier démonstrateur de théorèmes est écrit par Martin Davis. Il permet d’établir des résultats élémentaires d'arithmétique. Avant cela les machines ne savaient pas faire autre chose que les additions et les soustractions et elle les faisaient lentement. Peu à peu l’ordinateur se miniaturise et devient plus facile d’accès et d’utilisation. Il est aussi de plus en plus rapide.

1) Des capacités de calcul énorme et sans interruption

L’ordinateur permet d’effectuer un nombre de calculs phénoménal très rapidement et sans s’arrêter. Maintenant, il peut même effectuer des calculs longs et difficiles car il sait désormais effectuer des dérivations des fonctions, rechercher des primitives, manipuler des polynômes. De plus, par rapport aux humains, étant donné que c’est une machine, il ne se découragera pas. Il ne sera donc mis en échec que si le calcul est impossible ou qu’il ne possède pas les informations nécessaires. L’ordinateur a donc produit un premier changement, on peut à présent effectuer des calculs qu’un homme n’aurait jamais eu la force ou le temps d’effectuer.

2) La recherche de démonstration par ordinateur

On peut distinguer deux types de démonstrations : celles qui sont uniquement de longs calculs complexes et celles qui sont tout un long raisonnement.

Dans le premier, l’ordinateur est très efficace voire plus que le mathématicien, il trouve donc dans ce cas une place importante au côté du mathématicien et dans ce domaine, c’est un changement, un progrès par rapport aux siècles précédents.

Dans le second type l’ordinateur voit alors son intérêt fortement diminué, son apport n’est pas convaincant. En effet, il n’est pas capable actuellement de « réfléchir » comme un homme peut le faire.

Un exemple : le théorème des quatre couleurs (extrait de l'interview) qui dit, pour simplifier, qu’avec quatre couleurs, on peut toujours colorier les pays d'une carte géographique sans que deux pays voisins portent des couleurs identiques. Ce théorème, conjecturé en 1852 par Francis Guthrie, ne fut démontré qu'en juin 1976 par Kenneth Appel et Wolfgang Haken à l'aide d'un calcul par ordinateur. Mais ce n’est pas l’ordinateur qui a fait l’ensemble du travail, les idées et la structure de la démonstration avaient étaient élaborées par des mathématiciens pendant plus d’un siècle. L'ordinateur, en 1976, ne s'est chargé que du travail de recherche et de vérification, travail qui aurait été trop long pour être effectué par un humain, mais qui n’est pas un raisonnement.
L'ordinateur, dans la démonstration du théorème des quatre couleurs, a été certes pratiquement irremplaçable, mais n’en est pas moins resté qu’un assistant fiable.

Une autre réussite de l’ordinateur est la démonstration qu'il n'existe pas de plan projectif fini d'ordre 10 (voir image). Encore une fois l’ordinateur se contenta d’explorer toutes les possibilités de construction de plan d’ordre 10. Cette preuve a été obtenue par C.W.Lam, L.H. Thiel et S.Swiercz grâce à un programme, en 1988.

L’ordinateur a donc apporté un changement sur ce point mais n’en reste pas moins qu’un outil de calcul.

3) Un outil permettant de conjecturer

L’ordinateur permettant d’effectuer beaucoup de calculs et cela très rapidement, si un mathématicien tombe sur ce qui pourrait être une loi, ce dernier peut alors demander à l’ordinateur d’effectuer le calcul avec un nombre d’exemples extrêmement grand et à partir de là, le mathématicien peut établir une conjecture. Ceci n’a pas entraîné un changement majeur par rapport aux siècles précédant bien qu’il ait entraîné une augmentation forte du nombre de conjectures.

4) Pas seulement utile pour les mathématiques pures

Les démonstrateurs de théorèmes trouvent aussi leur place dans des mathématiques visant à prouver la correction d'un circuit, d'un programme ou d'un protocole d'échange. Les logiciels d’intelligence artificielle possèdent des mécanismes émanant des recherches en démonstration automatique. Les langages d'interrogation des bases de données usent eux aussi de mécanismes venant de cette démonstration automatique.

5) Vérifier impartialement et sans erreurs des preuves

Les erreurs mathématiques étant malheureusement fréquentes et gênantes sont dures à trouver mais l’ordinateur qui ne semble pas pouvoir se tromper permet parfois de vérifier et ainsi de valider des preuves. Par exemple il a permis la vérification des preuves du théorème de Cantor sur le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble.

(Résumé)